הכל על חוקי חזקות

מבט מהיר על הכל על חוקי חזקות

חזרה – מה היא בכלל חזקה?

את ארבעת פעולות החשבון חיבור, חיסור, כפל וחילוק כולנו מכירים מקרוב.

על הפעולות הבסיסיות האלה למדתם כנראה כבר בשנות הלימודים הראשונות שלכם והן משמשות אותנו לא רק לפתירה של שאלות מסובכות, אלא גם להתנהלות השוטפת בחיים היומיומיים שלכם.

האחות הגדולה של ארבעת פעולות החשבון היא ללא ספק החזקה.

החזקה היא פעולה המתבצעת בין שני מספרים בעלי תפקידים שונים שנועדה לקצר לנו את כתיב פעולת הכפל.

פעולת החזקה למעשה תסמל לנו הכפלה של מספר מסוים  בעצמו לפי כמות פעמים מוגדרת.

חזקה מסומנת באופן הבא –

בכתיב זה ניתן לזהות שני תפקידנים מרכזיים בפעולה :

  • בסיס החזקה (a) – המספר אותו נרצה להכפיל בעצמו בהתאם למעריך החזקה (b). 
  • מעריך החזקה (b) – כמות הפעמים בה נרצה להכפיל את בסיס החזקה בעצמו.

במילים אחרות, אם נרצה לחשב את התרגיל שתיים בחזקת שלוש, נכפיל את שתיים בעצמו כשלוש פעמים ונקבל את התשובה 8.

הדבר ייראה כך –

מה חוקי חזקות באים לתרום לנו?

בסופו של דבר, החזקות הפשוטות שאנחנו מכירים מהוות רק צוהר קטן לפעולות החישוביות שניתן לבצע באמצעותן.

ישנם תרגילים מורכבים יותר של חזקות שכוללים כמה חזקות עם מעריך או בסיס חזקה שונים, משוואות עם חזקות ואפילו מערכות משוואות עם חזקות.

במילים אחרות, חישוב בראש של החזקה עובד מצוין, עד לגבול מסוים.

חוקי החזקות נועדו לאפשר לנו לגשת לתרגילים מורכבים יותר עם הידע הנכון והגישה המתאימה לפתירתם.

למידה של חוקי חזקות אמנם לא תשמש אתכם יותר מידי בקנייה של תפוחים במכולת – אבל היא מהווה צעד לימודי חשוב עבורכם בדרך לקבלת תעודת הבגרות ותשמש אתכם גם בלימודים האקדמאיים.

בנוסף, במידה ותגשו לעבודה במקצועות חישוביים כמו הנדסה, סביר שתבצעו באלה שימוש. 

אז עכשיו כשאתם יודעים קצת יותר על חזקות, הגיע הזמן לספר לכם על חוקי החזקות השימושיים ששווה לכם להכיר.

הנה הם חוקי החזקות השימושיים שיתרמו לכם לפתירת התרגילים.

חוקי חזקות כלליים:

הכפלה של חזקות עם בסיס חזקה משותף:

במקרה של הכפלה של שתי חזקות עם בסיס חזקה משותף, נוכל לחבר את מעריך החזקה באופן הבא –

ובדוגמא מעט יותר מוחשית עם מספרים אמיתיים –

חשוב לזכור – הכלל עובד כמובן גם כשמדובר בשרשרת של חזקות שכוללת יותר משני איברים. 

חילוק של חזקות עם בסיס חזקה משותף:

חילוק וכפל הם למעשה פעולה מאוד דומה ולכן, החוק לחילוק חזקות עם בסיס חזקה משותף יהיה דומה בהתאם.

חזקה אחת חלקי השנייה, תביא לחיסור של מעריך החזקה באופן הבא –

ובדוגמא מעט יותר מוחשית –

העלאת חזקה בחזקה:

חוק שימושי נוסף שכנראה שווה לכם להכיר – העלאת חזקה בחזקה שוות ערך למכפלה בין המעריכים באופן הבא –

ובמספרים – 

חזקה של שבר:

כאשר מעריך החזקה פועל על שבר, ניתן לפצל אותו למונה ולמכנה באופן הבא –

ובדוגמא מעט יותר מוחשית –

פתיחת סוגרים של חזקה:

כאשר ישנה מכפלה בתוך בסיס החזקה, ניתן לפצל את אותה למכפלה של חזקות באופן הבא –

ובדוגמא מספרית –

חזקה שלילית:

חזקה שלילית שווה למעשה לאחד חלקי החזקה –

ובדוגמא מספרית – 

חוקי חזקות עם הספרות 1,0:

הספרות 1 ו-0 הן ספרות ייחודיות ובהתאם לכך, יש להן חוקי חזקות משלהן.

אלו הם כמה שכנראה שווה לכם להכיר –

אחד בחזקת כל מספר שווה לאחד   

הביטוי אפס בחזקת אפס לא מוגדר

אפס בחזקת כל מספר ששונה מאפס שווה לאפס   

כל מספר בחזקת 0 שווה לאחד 

תרגילים לתרגול:

בשביל לעזור לכם לוודא שהבנתם את החומר כראוי, ריכזנו עבורכם כמה תרגילים בסיסיים עם פתרונות מלאים.

בהצלחה!

תשובות:

1.

הסבר – לפי חוק חיבור מעריך חזקה במכפלה בעלת בסיס חזקה זהה.

2.

הסבר – לפי חוק חיסור מעריך חזקה בחלוקה של שתי חזקות בעלות בסיס זהה.

3.

הסבר – לפי חוק פתיחת סוגריים של חזקה.

4.

הסבר – לפי חוקי חיבור מעריך חזקה במכפלה בעלת בסיס חזקה זהה וחזקה בעלת מעריך שלילי.

איך נלמד את החומר באופן הטוב ביותר?

חוקי חזקות הוא חומר פשוט ושימושי, שכדאי ללמוד באופן מעמיק.

אנחנו ממליצים לכם לעבור על החוקים השונים, לתרגל את התרגילים שריכזנו עבורכם וכמובן גם את אלו מהספר ולהתעכב על התרגילים שאתם מסתבכים איתם.

תוכלו להתייעץ עם המורה שלכם מבית הספר, לפתור את התרגילים ביחד עם החברים ולוודא שאתם מבינים כראוי ובמידת הצורך – להיעזר במורה פרטי. 

היחס האישי של המורה הפרטי, ההבנה המעמיקה שיש לו כלפי החומר והנכונות שלו לעזור יכולים להפוך את לימודי המתמטיקה לפחות מלחיצים ואפילו למהנים.

באתר שלנו תוכלו למצוא מבחר אדיר של מורים פרטיים למתמטיקה שיותר מישמחו לעזור לכם בשיעורים פרוטנליים רגילים וכמובן גם בשיעורי זום מקוונים.

אנחנו פה בשביל ללוות אתכם למאייה הבאה.

בהצלחה!

כתיבת תגובה