נוסחת השורשים לפתרון משוואה ריבועית

מבט מהיר על נוסחת השורשים לפתרון משוואה ריבועית

נוסחת השורשים

נוסחת השורשים לפתרון משוואה ריבועית

פתרון משוואות הוא ללא ספק אחת מהמיומנויות המשמעותיות ביותר שנרכשות במהלך הלימודים בחטיבה ובתיכון.

היכולת לפתור משוואות לא רק עוזרת במקרי פתירה בסיסיים, אלא מלווה אותנו גם בלימודים המעמיקים על פונקציות ואפילו בחישובים טריגונומטריים (אבל זה כבר ביום אחר).

במילים אחרות, מדובר במיומנות שחשוב לרכוש בו בזמן ולא לדחות – אם אתם לא מבינים אותה כמו שצריך, חשוב שתשבו על החומר ותוודאו את עצמכם.

אחרי שיצא לכם לפגוש את המשוואה הרגילה והפשוטה ולהתנסות בדרכי הפתרון שלה כמו שצריך, הגיעה האחות הקצת יותר מוצלחת – המשוואה הריבועית.

המשוואה הריבועית כוללת את האיקס הנורמלי שאתם מכירים בתצורה מעט יותר מתקדמת – איקס בריבוע. את החזקה הפשוטה הזאת לעיתים קל לבודד ולעיתים לא – מה שכמובן משפיע על מידת הקושי בפתירת התרגיל.

אז איפה נוסחת השורשים משתלבת בכל הסיפור הזה?

בכנות, נוסחת השורשים היא כנראה הכלי הכי שימושי בפתירת משוואות ריבועיות. תמיד יש כמובן את האפשרות לבצע טרינום ריבועי רגיל או מתקדם (תלוי תרגיל), אבל בתכלס – נוסחת השורשים לא דורשת הבנה מעמיקה, יכולות מחשבה מאתגרות ולמעשה, היא נגישה לכולנו. 

אם אתם מחפשים דרך קלה לפתור את המשוואה הריבועית שקיבלתם ולהיות בטוחים שאתם בדרך הנכונה ואם אתם סתם מקבלים תרגיל שקשה לפשט באמצעות טרינום – הנוסחה הזאת יכולה להיות מצוינת ולעזור לכם לא לשבור סתם את הראש.

שימו לב – בתרגילים קשים במבחן היא יכולה אפילו לחסוך לכם דקות שהן קריטיות לפתירה של תרגילים אחרים.

אז מה זה בכלל נוסחת שורשים?

עכשיו כשאתם יודעים מה מחכה לכם, אפשר להתחיל לגשש באפלה.

כשאנחנו פונים לפתירת משווה ריבועית, נעביר ראשית את כל האיברים לאותו האגף.

באופן כללי, נקבל כנראה את התצורה הבאה:

לפני שנפנה לנוסחת השורשים, נבצע כמה הגדרות בסיס:

a – יהיה המקדם של איקס בריבוע. למשל, ב-, ה-a שלנו יהיה שווה ל-3.

b – יהיה המקדם של איקס בתצורתו הרגילה. למשל, ב-6x, ה-b שלנו יהיה שווה ל-6.

c – יהיה האיבר החופשי, מספר רגיל שלא תלוי באיקס. למשל, 6 או 8.

דלתא – האזור שתחום בשורש בתוך נוסחת השורש נקרא בדיבור המתמטי דלתא. 

אנחנו מזהירים אתכם, נוסחת השורשים לא תיראה לכם כל כך יפה בהתחלה, אבל אולי עדיף פשוט להוריד את הפלסטר:

הנוסחה אמנם נראית בהתחלה באמת ממש לא סימפטית, אבל עם קצת תרגול – היא נגישה ונוחה למדיי. 

כמה דברים שחשוב לזכור!
  • שני פתרונות – בפתרון המשוואה שלכם לעומת משוואות רגילות ממעלה ראשונה אתם תקבלו שני פתרונות – לכן ישנו הסימון של הפלוס מינוס לפני השורש.
  • דלתא גדול או שווה לאפס – כיוון שאזור הדלתא תחום בשורש, חשוב לזכור שערכים נמוכים מאפס שיהיו בתוכו לא יובילו לשום פתרון.

כלומר, במצב בו הגעתם לערך שלילי מתחת לשורש – אין לכם פתרון למשוואה.

למצב כזה יכולות להיות שתי סיבות:
  • למשוואה אין פתרון – הפונקציה שאתם חוקרים לא מוגדרת בנקודה נתונה מסוימת, המשוואה שקיבלתם לא פתירה. 
  • ביצעתם טעות חישוב – במידה וקיבלתם תרגיל במבחן שבוחן את הידע שלכם בפתירת משוואה ריבועית, סביר שיביאו לכם משוואה עם פתרון.

לפני שאתם מגיעים למסקנה שמדובר במשוואה בלי פתרון, תוודאו את עצמכם, תחזרו כמה שלבים אחורה ותבחנו את ההצבה שלכם בנוסחת השורש ובמחשבון.

  • מספרים "מגעילים" – הרבה תלמידים לא אוהבים את נוסחת השורש בגלל שהיא יכולה להיות מלחיצה.

הרבה פעמים מספר "יפה" עגול או יחסית ברור נחשב כנכון בעיניי התלמידים ואילו המספר ה"מגעיל" ייחשב כטעות.

אמנם מורים רבים כנראה ישמחו ויעדיפו להביא לכם תרגילים עם פתרונות נחמדים אבל תשובה שהיא מספר לא שלם היא לא בהכרח לא נכונה.

במילים אחרות – מה שיקבע בסופו של דבר את התקפות של הפתרון שלכם יהיה הדרך שבה הגעתם אליהם ולא התשובה המספרית הסופית, לא לדאוג.

  • קחו את הזמן – כיוון שמדובר בנוסחה מעט מורכבת במיוחד בהתחלה, חשוב שתקחו את הזמן בפתרון התרגילים בשביל לוודא שאתם לא נופלים על טעויות חישוב שלא נובעות בפער הבנתי. 
תרגיל לדוגמא

פתור את המשוואה הבאה:

פתרון

במבט זריז נראה כי מדובר במשוואה מפחידה במיוחד!

אבל האמת היא, שהמצב יותר פשוט ממה שהייתם מצפים.

בשביל להפוך את המשוואה המורכבת הזאת לפתירה, כל מה שנצטרך לעשות זה להוציא גורם משותף X:

כרגע למשוואה שלנו יש שני פתרונות אפשריים:

  • X = 0

וכמו שאתם רואים – כעת נתונה לנו משוואה ריבועית!

בשביל לפתור אותה, כל מה שאנחנו צריכים לעשות עכשיו זה פשוט להציב את הערכים בנוסחת שורשים:

  • a = 2
  • b = 5
  • c = -3

כעת, נציב בנוסחה:

נסדר קצת את האיברים: 

ונמצא את שני הפתרונות שלנו:

וזהו! סיימנו!

הפתרונות למשוואה שלנו הן:
  • x = 0
  • x = 0.5
  • x = -3

איך מוודאים שהחומר יושב לנו כמו שצריך בראש?

כשזה נוגע למתמטיקה, לקרוא את החומר זה לא מספיק.

הדבר הכי חשוב יהיה ללא ספק לתרגל את החומר, לעבור על כל הדוגמאות בסופר, לפתור את התרגילים הכי קשים ולאתגר את עצמנו בשאלות נוספות.

סבירו להורים מה שלמדתם, תחלקו ידע עם חברים ותשוו שיטות שונות – לחלק יהיה יותר קל להשתמש בנוסחת שורש, אחרים יעדיפו ברוב המקרים להיעזר בטרינום אלגברי פשוט.

הדבר היפה הוא שלכל אחד יש את הדרך שלו, אבל בשביל להגיע אליה – חשוב לתרגל ולמצוא אותה לגמרי לבד.

במידה ואתם מעוניינים בחיזוק נוסף, באדם עם ידע מתמטי שידע לעזור לכם להשיג את הציונים הכי גבוהים במבחן – אתם באתר הנכון.

אצלנו נוסף על הסברים מעמיקים ומעשירים תוכלו למצוא מורים פרטיים מצוינים שיותר מישמחו לעזור לכם בדרך האישית שלכם אל ההצלחה.

אז למה אתם מחכים? תמשיכו לתרגל, תלמדו ותקבעו איזה שיעור!

סומכים עליכם!

כתיבת תגובה